“Matematiksel Fiziğin Denklemleri” - kurs 2800 ruble. MSU'dan, 15 hafta eğitim. (4 ay), Tarih: 30 Kasım 2023.
Miscellanea / / December 02, 2023
Kurs, matematik, mühendislik veya doğa bilimleri disiplinlerinde uzmanlaşmış lisans, yüksek lisans ve uzmanların yanı sıra üniversite öğretmenlerine yöneliktir. Dersin amacı öğrenciye matematiksel fizik ile denklemler alanındaki bir dizi klasik konuyu tanıtmak ve öğrenciye bu tür denklemleri çalışmanın temel yöntemlerini öğretmektir. Ders, bir yarıyıllık matematiksel fizik denklemleri (kısmi diferansiyel denklemler) hakkındaki klasik materyalleri kapsar. “Birinci dereceden doğrusal ve yarı doğrusal denklemler”, “Doğrusal denklemlerin sınıflandırılması”, “Dalga denklemi” bölümleri, “Parabolik denklem”, “Temel çözümler”, “Laplace denklemi” Sorunların klasik formülasyonları - Cauchy problemi, sınır sorunu. Denklemleri incelemenin temel yöntemlerine hakim olalım - doğrudan entegrasyon, çözümlerin devamı yöntemi, Fourier yöntemi, temel çözüm yöntemi, potansiyeller yöntemi. Matematiksel fizik problemlerinde bu denklemlerin türetilmesini ve modellerimizin uygulanabilirliğinin sınırlarını sık sık hatırlayacağız.
Çalışma şekli
Uzaktan eğitim teknolojilerini kullanan yazışma kursları
Kabul şartları
VO veya DPT'nin kullanılabilirliği
2
kursFiziksel ve Matematik Bilimleri Doktoru, Profesör Pozisyonu: Moskova Devlet Üniversitesi Uzay Araştırmaları Fakültesi Temel ve Uygulamalı Matematik Bölümü Profesörü, M.V. Lomonosov adını almıştır.
1. İlk buluşma.
Giriş sözcüğü. Matematiksel fizik denklemleriyle çalışmanın temel ilkeleri. Basit denklem örnekleri. Sınıflandırma. Basit denklemleri adi diferansiyel denklemlere indirgeyerek çözme. Bir denklemdeki değişkenlerin değiştirilmesi.
2. Birinci dereceden denklemler – doğrusal ve yarı doğrusal.
Doğrusal denklemler. Uygun bir ikame bulma - birinci dereceden adi diferansiyel denklemlerden oluşan bir sistemin derlenmesi ve çözülmesi. Sistemin ilk integralleri. Özellikler. Yarı doğrusal denklemler. Örtülü bir biçimde bir çözüm bulmak.
3. Cauchy sorunu. İkinci mertebeden doğrusal denklemlerin sınıflandırılması.
Cauchy probleminin ifadesi. Cauchy probleminin çözümünün varlığı ve tekliği üzerine teorem. Sabit katsayılı ikinci basamaktan lineer denklemlerin sınıflandırılması. Kanonik forma indirgeme.
4. Hiperbolik, parabolik ve eliptik denklemler.
Düzlemde değişken katsayılı ikinci basamaktan lineer denklemlerin sınıflandırılması. Hiperbolik, parabolik ve eliptik tip. Hiperbolik denklemlerin çözümü. Başlangıç ve sınır koşullarıyla ilgili problemler.
5. Dize denklemi.
Tüm eksende tek boyutlu dalga denklemi. İleri ve geri dalga. d'Alembert'in formülü. Duhamel integrali. Yarı eksendeki denklemin sınır koşulları. Temel sınır koşulları türleri. Çözümün devamı. Sonlu segment durumu.
6. Örnek olarak dize denklemini kullanan Fourier yöntemi.
Fourier yöntemi fikri. İlk adım bir temel bulmaktır. İkinci adım Fourier katsayıları için adi diferansiyel denklemlerin elde edilmesidir. Üçüncü adım, ilk verileri dikkate almaktır. Serilerin yakınsaklığı.
7. Difüzyon denklemi (sonlu segment).
Denklemin türetilmesi. Sorunların ifadesi (başlangıç ve sınır koşulları). Fourier yöntemi. Sınır koşullarında sağ taraf ve homojensizliğin hesaba katılması. Serilerin yakınsaklığı.
8. Difüzyon denklemi (tüm eksen).
Fourier dönüşümü, ters çevirme formülü. Denklemin Fourier dönüşümünü kullanarak çözülmesi. Teorem – yöntemin gerekçesi (iki durum). Poisson formülü. Sağ tarafı olan bir denklem durumu.
9. Genelleştirilmiş işlevler.
Poisson formülünü evrişim olarak yazmak. Sonlu bir segment üzerinde ısı denkleminin çözümünün evrişimi şeklinde kaydedilmesi. Schwartz sınıfı. Sınıftan fonksiyon örnekleri. Genelleştirilmiş fonksiyonların tanımı, klasik fonksiyonlarla bağlantısı. Genelleştirilmiş bir fonksiyonun temel bir fonksiyonla çarpımı, türevi. Genelleştirilmiş fonksiyonların yakınsaklığı. Genel işlevlere örnekler.
10. Genel işlevlerle çalışma.
Genelleştirilmiş fonksiyonlarda adi diferansiyel denklemlerin çözümü. Genelleştirilmiş fonksiyonların Fourier dönüşümü. Evrişim. Doğrudan ürün. Genelleştirilmiş bir fonksiyonun taşıyıcısı. Homojen olmayan tek boyutlu ısı denkleminin temel çözümü kullanarak çözülmesi. Bir aralıkta sıradan bir diferansiyel operatörün temel çözümü.
11. Temel çözümler.
Çok boyutlu ısı denklemi için Poisson formülünün türetilmesi. Kirkhoff formülünün türetilmesi. Dalga denklemi için Poisson formülünün türetilmesi. Değişkenlerin ayrılması yöntemini, süperpozisyon yöntemini kullanarak problem çözme.
12. Laplace denklemi.
Laplace denkleminin türetilmesi. Vektör alanı – potansiyel, bir yüzeyden geçen akış. Hacim potansiyeli. Basit katman potansiyeli. Çift katman potansiyeli. Logaritmik potansiyel.
13. Dirichlet problemi, Neumann problemi ve Green fonksiyonu.
Harmonik fonksiyonlar. Zayıf ekstremum ilkesi. Harnack teoremi. Kesin maksimum ilkesi. Teklik teoremi. Ortalama değer teoremi. Sonsuz pürüzsüzlük. Liouville'in teoremi. Green'in formülü. Green'in fonksiyonu, özellikleri. Poisson probleminin Dirichlet koşullarıyla Green fonksiyonu kullanılarak çözümü. Diğer sınır değer problemleri. Green fonksiyonunun yansıma yöntemiyle oluşturulması.
14.Çok boyutlu Fourier yöntemi.
Fourier yöntemini kullanarak problem çözme. Çeşitli sınır koşulları. Bessel fonksiyonları. Legendre polinomu. Tamamlanan kursun gözden geçirilmesi. Özetleme.